Velocidade das ondas progressivas

Entendemos por ondas progressivas aquelas que se deslocam (para a esquerda ou direita) com o decorrer do tempo. Na figura abaixo, mostramos uma onda em dois instantes t_1 e t_2 ou seja, em um intervalo de tempo \triangle t = t_2 - t_1. A onda está caminhando em direção crescente de x (para a direita da figura) com uma configuração completa da onda deslocando-se de uma distância \triangle x durante o intervalo \triangle t. Fica claro que \triangle x = x_2 - x_1. A razão \triangle x/\triangle t é a velocidade da onda.

Utilizando a equação x =  \frac {\alpha}{k} + \frac {\omega t}{k}, que é a expressão do deslocamento longitudinal de uma onda que se desloca para a direita (sentido crescente de x). Tomando essa equação para os instantes t_1 e t_2 obtemos duas equações:

     \[ x_1 = \frac {\alpha}{k} + \frac {\omega t_1}{k} \]

     \[ x_2 = \frac {\alpha}{k} + \frac {\omega t_2}{k} , \]

Respectivamente. Façamos agora a diferença entre estas duas equações:

     \[ x_2 - x_1 = \frac {\alpha}{k} + \frac {\omega t_2}{k} - \frac {\alpha}{k} - \frac {\omega t_1}{k} \]

Simplificando e colocando \frac {\omega}{k} em evidência temos

     \[ x_2 - x_1 = \frac {\omega}{k}(t_2 - t_1) \]

Lembrando que \triangle x = x_2 - x_1 e que \triangle t = t_2 - t_1, esta última equação pode ser reescrita como

     \[ \triangle x = \frac {\omega}{k} \triangle t \]

ou

     \[ \frac {\triangle x}{\triangle t} = \frac {\omega}{k} \]

Sendo a velocidade definida como  v = \frac {\triangle x}{\triangle t}, temos finalmente

     \[ v = \frac {\omega}{k} \]

A equação acima nos dá então a velocidade com que a onda se propaga. Esta quantidade é positiva, indicando que a onda está viajando na direção crescente de x, isto é, para a direita. Se na dedução da equação para a velocidade da onda tivéssemos utilizado a equação  x = \frac {\alpha}{k} - \frac {\omega t}{k}, que é a expressão do deslocamento longitudinal de uma onda que se desloca para a esquerda (sentido decrescente de x) teríamos obtido o seguinte resultado:

     \[ v = - \frac {\omega}{k} \]

Onde o sinal menos indica que a onda está viajando na direção decrescente de x, isto é, para a esquerda.
A equação v =  \frac {\omega}{k} pode ser expressa de uma maneira alternativa. Fazendo uso da equação  k = \frac {2\pi}{\lambda} e da equação \omega = \frac {2\pi}{T}, podemos escrever, para a velocidade da onda.

     \[ v = \frac {2\pi/T}{2\pi/\lambda} \]

Que depois de simplificada se torna

     \[ v = \frac {\lambda}{T} \]

Como f = \frac {1}{T}, outra forma alternativa seria:

     \[ v = \lambda f \]

Um caso particular é uma onda se deslocando em uma corda. Pode ser demonstrado que a velocidade de propagação de uma onda numa corda ideal esticada, depende somente das características da corda e não da frequência da onda. Esta velocidade é expressa pela seguinte equação:

     \[ v = \sqrt \frac{\tau}{\mu} \]

Onde \tau é a tensão (ou tração) na corda e \mu é a densidade linear de massa da corda, sendo definida como\mu é a densidade linear de massa da corda, sendo definida como

     \[ \mu = \frac {m}{L} \]

Onde m e L são, respectivamente, a massa e o comprimento da corda. A unidade de \mu no sistema internacional é kg/m. Percebemos da equação v = \sqrt \frac {\tau}{\mu}  que a velocidade de uma onda numa corda é caracterizada por dois aspectos: um elástico e outro inercial. A parte elástica da corda é representada pela tensão \tau na corda, pois não seria possível gerar uma onda numa corda esticada se esta corda não pudesse se esticar ainda mais.
A parte inercial da corda é representada pela sua densidade linear \mu já que esta é a sua massa por comprimento. Ressaltamos aqui, que todo meio em que se propagar uma onda mecânica existirá um aspecto elástico e outro inercial. A frequência da onda na corda esticada é fixada pelo agente que cria a onda. Poderemos determinar o comprimento de onda da onda na corda através da equação v = \lambda f.